Sifat Akar-Akar Persamaan Kuadrat

dan

$ x_{1} \cdot x_{2}=\frac{c}{a} $

Selain itu berlaku pula :

$ x_{1}-x_{2}=\frac{\sqrt{D}}{a} $

$ \left ( x_{1}-x_{2} \right )^{2}=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-2x_{1}x_{2} $

$ \left ( x_{1}-x_{2} \right )^{2}=\left (x_{1}+x_{2} \right )^{2}-4x_{1}x_{2} $

$ \left ( x_{1}-x_{2} \right )^{2}=\left (-\frac{b}{a} \right )^{2}-4\left ( \frac{c}{a} \right ) $

$ \left ( x_{1}-x_{2} \right )^{2}=\frac{b^{2}}{a^{2}}-\frac{4c}{a} $

$ \left ( x_{1}-x_{2} \right )^{2}=\frac{b^{2}-4ac}{a^{2}} $
$ \left ( x_{1}-x_{2} \right )^{2}=\frac{D}{a^{2}} $
Jadi:
$ \left ( x_{1}-x_{2} \right )=\sqrt{\frac{D}{a^{2}}} $

$ \left ( x_{1}-x_{2} \right )=\frac{\sqrt{D}}{a} \Longleftrightarrow Terbukti $

Cotoh Penggunaan dalam Soal

(Soal SIMAK UI th. 2009 Kode : 951 No. 6)
Misalkan selisih akar-akar $ x^{2}+2x-a=0 $ dan selisih akar-akar $ x^{2}-8x+\left ( a-1 \right )=0 $ bernilai sama, maka perkalian seluruh akar-akar kedua persamaan tersebut adalah ...

Pembahasan
misalkan akar akar dari persamaan $ x^{2}+2x-a=0 $ adalah $ x_{1}$ dan $ x_{2}$dan misalkan akar akar dari persamaan $x^{2}-8x+\left ( a-1 \right )=0$ adalah $ x_{3}$ dan $ x_{4}$ maka $ \left ( x_{1}-x_{2} \right )=\left ( x_{3}-x_{4} \right ) $

$ \frac{\sqrt{4-4a}}{1}=\frac{\sqrt{64-4\left ( a-1 \right )}}{1} $

$4-4a=68-4a$

$8a=64$

$a=8$

sehingga kedua persamaan kuadrat tersebut menjadi :

$x^{2}-2x-8=0$ dan $x^{2}-8x+7=0$

Sehingga, perkalian seluruh akar-akar persamaan tersebut adalah :

$\left (x_{1}\cdot x_{2} \right )\cdot \left (x_{3}\cdot x_{4} \right )=\left ( -8 \right )\cdot\left ( 7 \right )$

$\left (x_{1}\cdot x_{2} \right )\cdot \left (x_{3}\cdot x_{4} \right )=-56"$

Semoga bermanfaat