Teorema Binomial

Sumber Gambar : Wikipedia

Teorema binomial adalah sebuah rumus matematika yang digunakan untuk menghitung pangkat dari suatu binomial. Rumus ini ditemukan oleh matematikawan Prancis bernama Blaise Pascal pada abad ke-17. Teorema binomial menghubungkan hubungan antara pangkat dari suatu binomial dengan koefisien binomial.

Rumus umum dari teorema binomial adalah sebagai berikut:

$ (a + b)^n = a^n + {_nC_1}a^{n - 1}b + {_nC_2}a^{n - 2}b^2 + \, \cdots \, +  {_nC_m}a^{n - m}b^m + \, \cdots \, + b^n $

Di dalam rumus tersebut, a dan b adalah bilangan riil atau variabel, n adalah bilangan bulat positif, dan ${_nC_k}  $ adalah koefisien binomial yang diberikan oleh rumus:

$ {_nC_k}=\frac{n!}{k!\left ( n-k \right )!} $

dengan n! (n faktorial) adalah hasil perkalian dari semua bilangan bulat positif mulai dari 1 hingga n.

Berikut adalah contoh penggunaan teorema binomial:

Contoh 1:

Misalkan kita ingin menghitung ekspansi dari $ \left ( x + y \right )^{3} $ .

Menerapkan rumus teorema binomial, kita dapat menulisnya sebagai berikut:

$ \left ( x+y \right )^{3}={_3C_0}\times x^{3}\times y^{0} + {_3C_1}\times x^{2}\times y^{1} + {_3C_2}\times x^{1}\times y^{2} + {_3C_3}\times x^{0}\times y^{3} $

$ =\frac{3!}{0!(3-0)!} \times x^{3} \times y^{0} + \frac{3!}{1!(3-1)!} \times x^{2} \times y^{1} + \frac{3!}{2!(3-2)!} \times x^{1} \times y^{2} + \frac{3!}{3!(3-3)!} \times x^{0} \times y^{3} $

$ =1 \times x^{3} \times y^{0} + 3 \times x^{2} \times y^{1} + 3 \times x^{1} \times y^{2} + 1 \times x^{0} \times y^{3} $

$ =x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3} $

Jadi, ekspansi dari $ \left ( x + y \right )^{3} $ adalah $ =x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3} $

Contoh 2:

Misalkan kita ingin menghitung nilai dari $ (2+3)^{4} $ .

Menerapkan rumus teorema binomial, kita dapat menulisnya sebagai berikut:

$ (2+3)^{4} $

$ = {_4C_0}\times 2^{4}\times 3^{0} + {_4C_1}\times 2^{3}\times y^{1} + {_4C_2}\times 2^{2}\times 3^{2} + {_4C_3}\times 2^{1}\times 3^{3} + {_4C_4}\times 2^{0}\times 3^{4} $

$ 1 \times 2^{4} \times 1 + 4 \times 2^{3} \times 3 + 6 \times 2^{2} \times 3^{2} + 4 \times 2^{1} \times 3^{3} + 1 \times 1 \times 3^{4} $

$ = 16 + 96 + 216 + 108 + 81 = 517 $

Jadi, $ (2 + 3)^{4} = 517 $.

Dalam kedua contoh di atas, teorema binomial membantu kita menghitung pangkat dari binomial dengan bantuan koefisien binomial untuk mendapatkan hasil yang tepat.

Contoh Rumus Ekspansi Binomial

$ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $

$ (a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 $

$ (a + b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4 $

$ (a + b)^5 = a^5 + 5a^4b + 10a^3b^2 + 10a^2b^3 + 5ab^4 + b^5 $

$ (a + b)^6 = a^6 + 6a^5b + 15a^4b^2 + 20a^3b^3 + 15a^2b^4 + 6ab^5 + b^6 $

$ (a + b)^7 = a^7 + 7a^6b + 21a^5b^2 + 35a^4b^3 + 35a^3b^4 + 21a^2b^5 + 7ab^6 + b^7 $