PERSAMAAN LINGKARAN

Lingkaran $L$ berpusat di $O(0,0)$ dan berjari-jari $r$.

Misalkan titik $P(x,y)$ adalah sembarang titik yang terletak pada lingkaran $L$. jari-jari $ OP = r $ 

Segitiga $POQ$ siku-siku di $Q$, berdasarkan Theorema Phytagoras diperoleh :

$ OQ^2 + PQ^2 = OP^2 $

$ x^2 + y^2 = r^2 $

Titik $P(x,y)$ yang diambil adalah sembarang, sehingga persamaan tersebut juga berlaku umum untuk persamaan lingkaran yang berpusat di $O(0,0)$ dan memiliki jari-jari $r$

Persamaan Lingkaran yan berpusat di $M(a,b)$ dan berjari-jari $r$

$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$

Perhatikan gambar di bawah ini !

Lingkaran $L$ berpusat di $M(a,b)$ dan berjari-jari $r$ .

Misalkan $P(x,y)$ adalah sembarang titik yang terletak pada lingkaran $L$.

Jari-jari $MP=r$

$MQ=x-a$

$PQ=y-b$

Segitiga $PMQ$ siku-siku di $Q$, maka berdasarkan $Theorema Phytagoras$ berlaku :

$MQ^2+PQ^2=MP^2$

$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$

Karena titik $P(x, y)$ diambil sembarang, maka persamaan tersebut juga berlaku umum untuk persamaan lingkaran yang berpusat di titik $M(a, b)$ dan memiliki jari-jari $r$. Bentuk persamaan ini disebut bentuk baku persamaan lingkaran.  

Persamaan Umum Lingkaran

Dari bentuk baku persamaan lingkaran, kita dapat menentukan bentuk umum persamaan lingkaran sebagai berikut.

$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$

$\Leftrightarrow x^2-2ax+a^2+y^2-2by+b^2=r^2$

$\Leftrightarrow x^2+y^2+(-2a)x+(-2b)y+(a^2+b^2-r^2)=0$

Misalkan :

$A=-2a\Leftrightarrow a=-\frac{1}{2}A$

$B=-2b\Leftrightarrow b=-\frac{1}{2}B$

$C=a^2+b^2-r^2$

$\Leftrightarrow r^2=a^2+b^2-C$

$\Leftrightarrow r^2=(-\frac{1}{2}A)^2+(-\frac{1}{2}B)^2-C$

$\Leftrightarrow r^2=\sqrt{\frac{1}{2}A^2+\frac{1}{4}B^2-C}$

Diperoleh persamaan umum lingkaran : $x^2+y^2+Ax+By+C=0$

dengan pusat $(-\frac{1}{2}A,-\frac{1}{2}B)$ dan jari-jari $r=\sqrt{\frac{1}{4}A^2+\frac{1}{4}B^2-C}$

Persamaan Lingkaran yang memenuhi kriteria tertentu

Untuk menentukan persamaan suatu lingkaran dapat dilakukan dengan dua cara, yaitu :

1. tentukan pusat dan jari-jarinya, kemudian subtitusikan ke persamaan $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$
2. Tentukan nilai A, B dan C kemudian subtitusikan ke persamaan $x^2+y^2+Ax+By+C=0$