 |
| Diskriminan adalah konsep dalam aljabar yang digunakan untuk menentukan sifat akar-akar dari suatu persamaan kuadrat. Diskriminan seringkali digunakan dalam konteks persamaan kuadrat, namun juga berlaku pada persamaan polinomial yang lebih tinggi. |
Rumus diskriminan berasal dari penyelesaian persamaan kuadrat umum. Berikut adalah proses derivasi diskriminan dari persamaan kuadrat standar:
1. Persamaan Kuadrat Umum
Persamaan kuadrat umum dinyatakan sebagai:
\[ ax^2 + bx + c = 0 \]
di mana a, b, dan c adalah koefisien, dan a ≠ 0.
2. Menyelesaikan Persamaan Kuadrat dengan Melengkapi Kuadrat
Untuk menemukan rumus akar persamaan kuadrat, kita gunakan metode melengkapi kuadrat:
Langkah 1: Menyusun Persamaan
Pertama, bagi seluruh persamaan dengan a agar koefisien dari \(x^2\) menjadi 1:
\[ x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0 \]
Langkah 2: Melengkapi Kuadrat
Tambahkan dan kurangkan kuadrat dari setengah koefisien x:
\[ x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a} \]
Tambahkan \(\left(\frac{b}{2a}\right)^2\) di kedua sisi persamaan:
\[ x^2 + \frac{b}{a}x + \left(\frac{b}{2a}\right)^2 = -\frac{c}{a} + \left(\frac{b}{2a}\right)^2 \]
Langkah 3: Mengubah ke Bentuk Kuadrat Sempurna
Bentuk di sisi kiri menjadi kuadrat sempurna:
\[ \left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2} \]
Langkah 4: Mengambil Akar Kuadrat
Sekarang, ambil akar kuadrat dari kedua sisi persamaan:
\[ x + \frac{b}{2a} = \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
Langkah 5: Menyelesaikan untuk x
Pindahkan \(\frac{b}{2a}\) ke sisi kanan:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
3. Diskriminan
Dalam rumus kuadrat ini, ekspresi di bawah akar, yaitu \(b^2 - 4ac\), disebut diskriminan, yang dilambangkan dengan:
\[ D = b^2 - 4ac \]
Diskriminan ini menentukan jenis dan jumlah akar persamaan kuadrat.
4. Mengapa Diskriminan Penting?
Diskriminan berperan sebagai indikator sifat-sifat akar persamaan kuadrat:
- Jika \(D > 0\) : \(\sqrt{D}\) adalah bilangan real positif, sehingga persamaan memiliki dua akar real yang berbeda.
- Jika \(D = 0\) : \(\sqrt{D}\) sama dengan 0, sehingga persamaan memiliki satu akar real kembar.
- Jika \(D < 0\) : \(\sqrt{D}\) adalah bilangan imajiner, sehingga persamaan memiliki dua akar kompleks konjugat.
Intuisi dan Makna Diskriminan
- Asal usul diskriminan terkait langsung dengan sifat kuadrat sempurna dalam persamaan kuadrat.
- Diskriminan memungkinkan kita untuk memahami sifat akar tanpa perlu menghitung nilai akarnya secara eksplisit.
- Konsep diskriminan juga berlaku dalam polinomial yang lebih tinggi (seperti persamaan kubik dan kuartik), tetapi bentuknya menjadi lebih kompleks.
Dengan demikian, rumus diskriminan \(D = b^2 - 4ac\) berasal dari metode melengkapi kuadrat saat menyelesaikan persamaan kuadrat.
0Komentar
Insert code: <i rel="code">Put code here</i> or <i rel="pre">Put code here</i>
Insert image: <i rel="image">Put Url/Link here</i>
Insert title: <b rel="h3">Your title.</b>
Insert blockquote: <b rel="quote">Put text here</b>
Bold font: <b>Put text here</b>
Italics: <i>Put text here</i>